калькулятор віку

Калькулятор комплексних чисел виконує арифметичні та геометричні операції з числами вигляду a + bi, де i — уявна одиниця (i² = −1).

Наш калькулятор підтримує всі стандартні операції:

• додавання
• віднімання
• множення
• ділення
• модуль
• аргумент
• спряження
• переведення в тригонометричну форму
• степені за формулою Муавра
• корені n-го степеня
• комплексна експонента

Комплексні числа можна записувати в алгебричній формі (a + bi) або тригонометричній формі (r∠θ).

Модуль r = √(a²+b²) є відстанню від початку координат, а аргумент θ = atan2(b,a) — кутом.

Тригонометрична форма значно спрощує множення, ділення та піднесення до степеня: модулі множаться, а аргументи додаються.

Комплексне число — це число вигляду a + bi, де a і b є дійсними числами, а i — уявна одиниця, визначена як i² = −1. Дійсна частина дорівнює a, а уявна частина дорівнює b.

Комплексні числа виникли тому, що рівняння на кшталт x² + 1 = 0 не мають дійсних розв'язків, тому математики розширили числову систему, додавши √−1.

Згідно з Wolfram MathWorld, комплексні числа утворюють алгебрично замкнене поле, що означає наявність кореня серед них для кожного неконстантного многочлена.

У геометричному розумінні a + bi є точкою (a, b) на комплексній площині, де горизонтальна вісь відповідає дійсним значенням, а вертикальна — уявним.

• Для додавання або віднімання комплексних чисел окремо об'єднують дійсну та уявну частини: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i.
• Множення виконується за правилом FOIL та з урахуванням i² = −1: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i. Наприклад, (3+4i)(1−2i) = 11 − 2i.
• Ділення вимагає множення чисельника та знаменника на спряжене до знаменника число, що дає (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²).

Khan Academy зазначає, що множення на спряжене число прибирає уявну частину із знаменника, оскільки вираз (c+di)(c−di) = c²+d² завжди є дійсним. Ці чотири операції зберігають структуру a + bi.

Модуль комплексного числа z = a + bi — це відстань від початку координат на комплексній площині, яку визначають як |z| = √(a²+b²). Наприклад, |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.

Аргумент — це кут θ від додатного напрямку дійсної осі, який обчислюють як θ = atan2(b, a), зазвичай у межах від −π до π.

Як описує Digital Library of Mathematical Functions від NIST, модуль разом з аргументом задають полярні координати числа z. Модуль завжди є невід'ємним, а множення комплексного числа на його спряжене дає квадрат модуля: z·z* = |z|², що завжди є дійсним числом.

Щоб перевести комплексне число з алгебричної форми a + bi в тригонометричну форму r∠θ, обчисліть модуль r = √(a²+b²) та аргумент θ = atan2(b, a).

Для зворотного переходу з тригонометричної форми в алгебричну використовують формули a = r·cos θ та b = r·sin θ.

Наприклад, для 1 + i маємо r = √2 ≈ 1.414 та θ = 45°, тому його тригонометрична форма виглядає як √2 ∠45°.

Encyclopaedia Britannica пояснює, що тригонометричне подання робить множення та ділення інтуїтивно зрозумілими, оскільки ви просто множите чи ділите модулі та додаєте або віднімаєте аргументи. Алгебрична форма найкраще підходить для додавання та віднімання, тоді як тригонометрична спрощує множення, ділення, піднесення до степеня та добування коренів.

Формула Муавра говорить, що для z = r(cos θ + i sin θ) n-й степінь дорівнює z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Тобто слід піднести модуль до степеня n і помножити аргумент на n.

Наприклад, число (1+i) має r = √2 та θ = 45°, тому (1+i)² = (√2)²(cos 90° + i sin 90°) = 2(0 + i) = 2i, що збігається з прямим розкриттям дужок.

Wolfram MathWorld подає формулу Муавра як прямий наслідок формули Ейлера e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Цей метод допомагає уникнути стомлюваного багаторазового множення, необхідного для розкриття високих степенів в алгебричній формі.

Кожне ненульове комплексне число має рівно n різних коренів n-го степеня. Для z = r∠θ корені визначаються як z_k = ⁿ√r ∠(θ/n + 360°k/n) для k = 0, 1, …, n−1. Вони розташовані на однаковій відстані один від одного на колі радіуса ⁿ√r на комплексній площині.

Наприклад, три кубічні корені з 8 дорівнюють 2∠0°, 2∠120° та 2∠240°.

Окремий випадок коренів з одиниці n-го степеня — тобто розв'язків рівняння zⁿ = 1 — зафіксований в OEIS і утворює вершини правильного n-кутника на одиничному колі.

Як зазначає NIST DLMF, таке рівномірне розташування є прямим наслідком додавання 2π/n до кута для кожного наступного кореня.

Спряженим комплексним числом до z = a + bi є число z* = a − bi, яке отримують зміною знака уявної частини на протилежний. У геометричному сенсі це відповідає відображенню числа відносно дійсної осі.

Спряжене число має дві ключові властивості:

• z + z* = 2a завжди є дійсним числом
• z·z* = a² + b² = |z|² завжди є невід'ємним дійсним числом

Khan Academy підкреслює, що спряжені числа є основним інструментом для ділення комплексних чисел, оскільки множення знаменника на спряжене число прибирає уявну частину.

Спряжені числа також зустрічаються у фізиці та обробці сигналів, де такі величини, як потужність та ймовірність, залежать від множення комплексного значення на його спряжене для отримання дійсного модуля.

Комплексні числа є незамінними в інженерії та точних науках:

• В електротехніці кола змінного струму аналізують за допомогою фазорів, де імпеданс є комплексною величиною, що поєднує опір та реактакс.
• В обробці сигналів перетворення Фур'є подає сигнали у вигляді сум комплексних експонент e^(iωt), розділяючи їх на частотні складові.
• Системи керування використовують комплексну площину для оцінки стійкості шляхом знаходження полюсів і нулів.
• Квантова механіка фундаментально побудована на комплексних хвильових функціях.

Encyclopaedia Britannica зазначає, що тотожність Ейлера e^(iπ) + 1 = 0 витончено пов'язує сталі e, i, π, 1 та 0. Гідродинаміка й фрактальна геометрія, наприклад множина Мандельброта, також спираються на комплексну арифметику.

• Найчастіша помилка полягає в забуванні того, що i² = −1, через що під час множення змінюється знак добутку; написання i² = 1 призводить до неправильного результату.
• Інша помилка — застосування правила √(ab) = √a·√b до від'ємних чисел, оскільки воно тут не працює: √−1·√−1 = −1, а не √1 = 1.
• Під час пошуку аргументу чимало учнів використовують звичайний арктангенс arctan(b/a) і потрапляють не в той квадрант; натомість треба використовувати atan2(b, a).
• Також люди втрачають корені під час розв'язання рівняння zⁿ = w, забуваючи, що їх має бути рівно n.
• І нарешті, змішування градусів і радіанів у тригонометричних обчисленнях дає хибні кути.

Завжди перевіряйте, які одиниці вимірювання вимагає ваша формула перед обчисленням синусів і косинусів.