دليل سريع لحسابات اللوغاريتم والقواعد الأساسية

1. اللوغاريتم الشائع (قاعدة 10)

• مكتوبة باسم سجل (x) أو log₁₀ (x)
• يستخدم بشكل متكرر في التطبيقات العلمية
• مثال: log (100) = 2 لأن 10² = 100

2. اللوغاريتم الطبيعي (قاعدة هـ)

• مكتوبة باسم LN (x) أو logₑ (x)
• قاعدة E ≈ 2.71828 (رقم Euler)
• ضروري في حساب التفاضل والتكامل ونماذج النمو الأسي
• مثال: ln (e) = 1 لأن ¹ = هـ

3. اللوغاريتم الثنائي (قاعدة 2)

• مكتوبة باسم log₂ (x)
• شائع الاستخدام في علوم الكمبيوتر
• مثال: log₂ (8) = 3 لأن 2³ = 8

4. اللوغاريتم العام (أي قاعدة)

• مكتوبة باسم logₐ (x) حيث "a" هي القاعدة
• يجب أن تكون القاعدة إيجابية ولا تساوي 1
• مثال: log₅ (25) = 2 لأن 5² = 25

1. قاعدة المنتج

logₐ (x × y) = logₐ (x) + logₐ (y)

تنص هذه القاعدة على أن لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات.

مثال: log₂ (8 × 4) = log₂ (8) + log₂ (4) = 3 + 2 = 5

التحقق: log₂ (32) = 5 لأن 2⁵ = 32

2. قاعدة الحاصل

logₐ (x ÷ y) = logₐ (x) - logₐ (y)

اللوغاريتم على حاصل يساوي اختلاف اللوغاريتمات.

مثال: log₃ (27 ÷ 9) = log₃ (27) - log₃ (9) = 3 - 2 = 1

التحقق: log₃ (3) = 1 لأن 3¹ = 3

3. قاعدة السلطة

logₐ (x^n) = n × logₐ (x)

اللوغاريتم على السلطة تساوي أوقات الأسعار لوغاريتم القاعدة.

مثال: log₂ (8³) = 3 × log₂ (8) = 3 × 3 = 9

التحقق: log₂ (512) = 9 لأن 2⁹ = 512

4. قاعدة تغيير القاعدة

logₐ (x) = logₑ (x) ÷ logₑ (a)

تتيح لك هذه القاعدة حساب اللوغاريتمات بأي قاعدة باستخدام اللوغاريتمات الطبيعية.

مثال: log₅ (25) = ln (25) ÷ ln (5) = 3.219 ÷ 1.609 = 2

5. خصائص الهوية

• logₐ (1) = 0 (لأن a⁰ = 1 لأي ​​قاعدة أ)
• logₐ (a) = 1 (لأن a¹ = a)
• logₐ (a^x) = x (علاقة عكسية)
• A^(logₐ (x)) = x (علاقة عكسية)

الطريقة 1: استخدام التعريف والرياضيات العقلية

للحالات البسيطة التي تكون فيها النتيجة رقمًا كاملاً:

الخطوة 1: اسأل نفسك ، "ما هي قوة القاعدة التي تعطيني هذا الرقم؟"

الخطوة 2: استخدم معرفتك بالقوى للعثور على الإجابة

الطريقة 2: استخدام خصائص اللوغاريتم

للحصول على حسابات أكثر تعقيدًا ، قم بتكسير المشكلة باستخدام قواعد اللوغاريتم:

الطريقة 3: استخدام صيغة تغيير القاعدة

عند العمل مع قواعد غير شائعة:

الطريقة 4: طريقة الآلة الحاسبة

لنتائج عشرية دقيقة:

• للحصول على اللوغاريتمات الشائعة: استخدم زر "السجل"
• للوجاريتمات الطبيعية: استخدم زر "LN"
• لقواعد أخرى: استخدم صيغة تغيير القاعدة مع الآلة الحاسبة الخاصة بك

النوع 1: المعادلات اللوغاريتمية الأساسية

نموذج المعادلة: logₐ (x) = b

الحل: x = a^b

النوع 2: المعادلات مع خصائص اللوغاريتم

نموذج المعادلة: logₐ (x) + logₐ (y) = c

الحل: استخدم قاعدة المنتج للجمع ، ثم حل

النوع 3: المعادلات مع المتغيرات في أماكن متعددة

نموذج المعادلة: logₐ (x) = logₐ (y)

الحل: إذا كانت القواعد متساوية ، فإن x = y

الخطأ 1: تطبيق غير صحيح للخصائص

خطأ: log (a + b) = log (a) + log (b)

صحيح: log (a × b) = log (a) + log (b)

تذكر: لوغاريتمات تحويل الضرب إلى الإضافة ، وليس إضافة إلى الإضافة.

خطأ 2: نسيان قيود المجال

المشكلة: محاولة العثور على سجل (-5) أو سجل (0)

الحل: تذكر أن اللوغاريتمات محددة فقط للأرقام الإيجابية

الخطأ 3: الارتباك الأساسي

المشكلة: خلط قواعد مختلفة أثناء الحسابات

الحل: دائمًا تحديد القاعدة والتمسك بها طوال المشكلة

الخطأ 4: تسجيل الأخطاء

خطأ: log (a/b) = log (a) + log (b)

صحيح: log (a/b) = log (a) - log (b)

التطبيق 1: الفائدة المركبة

احسب المدة التي يستغرقها الاستثمار لمضاعفة:

الصيغة: t = log (2) / log (1 + r)

حيث t = الوقت ، r = سعر الفائدة

التطبيق 2: حسابات الرقم الهيدروجيني

الصيغة: ph = -log [H⁺]

حيث [H⁺] هو تركيز أيون الهيدروجين

التطبيق 3: حجم الزلزال

الصيغة: m = log (i/i₀)

حيث m = الحجم ، i = الكثافة ، i₀ = شدة المرجع

التقنية 1: استراتيجيات التقدير

لتقريب سريع:

• log₂ (1000) ≈ 10 (منذ 2⁰ = 1024)
• log₁₀ (3) ≈ 0.5 (منذ 10⁰ · ⁵ = √10 ≈ 3.16)

التقنية 2: استخدام التكنولوجيا بفعالية

الآلات الحاسبة العلمية:

• استخدم الأقواس لضمان ترتيب العمليات الصحيح
• تأكد من أن الآلة الحاسبة الخاصة بك في الوضع الصحيح

الأدوات عبر الإنترنت:

• تحقق من عملك مع طرق حساب متعددة
• استخدم أدوات الرسوم البيانية لتصور وظائف اللوغاريتمية

التقنية 3: التعرف على الأنماط

تعلم كيفية التعرف على قيم اللوغاريتم الشائعة:

• log₁₀ (10^n) = n
• log₂ (2^n) = n
• ln (e^n) = n

المشكلة: الحصول على نتائج غير محددة

السبب: محاولة حساب لوغاريتمات الأرقام السلبية أو الصفر

الحل: تحقق من أن جميع الوسائط إيجابية قبل الحساب

المشكلة: نتائج غير متناسقة

السبب: خلط قواعد مختلفة أو استخدام خصائص غير صحيحة

الحل: فحص الاتساق الأساسي وتطبيقات الممتلكات

المشكلة: تقريب الأخطاء

السبب: التقريب المفرط خلال الخطوات المتوسطة

الحل: احمل أماكن عشرية إضافية أثناء الحسابات ، جولة فقط في النهاية