حاسبة الوقت

تقوم حاسبة الأعداد المركبة بإجراء العمليات الحسابية والهندسية على الأعداد التي على صورة a + bi، حيث i هي الوحدة التخيلية (i² = −1).

تدعم حاسبتنا جميع العمليات القياسية:

• الجمع
• الطرح
• الضرب
• القسمة
• القيمة المطلقة
• السعة
• المرافق
• التحويل إلى الشكل القطبي
• أسس ديموافر
• الجذور النونية
• الأس المركب

يمكن التعبير عن الأعداد المركبة في الشكل الديكارتي (a + bi) أو الشكل القطبي (r∠θ).

المقياس r = √(a²+b²) هو المسافة من نقطة الأصل، والسعة θ = atan2(b,a) هي الزاوية.

يجعل الشكل القطبي عمليات الضرب والقسمة والأسس أبسط بكثير: اضرب المقاييس واجمع السعات.

العدد المركب هو عدد على صورة a + bi، حيث a و b عددان حقيقيان و i هي الوحدة التخيلية المعرفة كـ i² = −1. الجزء الحقيقي هو a والجزء التخيلي هو b.

نشأت الأعداد المركبة لأن معادلات مثل x² + 1 = 0 ليس لها حل حقيقي، لذلك قام علماء الرياضيات بتوسيع نظام الأعداد ليشمل √−1.

وفقاً لـ Wolfram MathWorld، تشكل الأعداد المركبة حقل مغلق جبرياً، مما يعني أن كل كثير حدود غير ثابت له جذر من بينها.

هندسياً، a + bi هي نقطة (a, b) في المستوى المركب، حيث يمثل المحور الأفقي القيم الحقيقية والمحور الرأسي القيم التخيلية.

• للجمع أو الطرح بين الأعداد المركبة، اجمع أو اطرح الجزء الحقيقي والجزء التخيلي بشكل منفصل: (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i.
• الضرب يستخدم طريقة FOIL ومتطابقة i² = −1: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i. على سبيل المثال، (3+4i)(1−2i) = 11 − 2i.
• القسمة تضرب البسط والمقام في مرافق المقام، مما يعطي (a+bi)/(c+di) = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²).

تشير خان أكاديمي إلى أن الضرب في المرافق يزيل الجزء التخيلي من المقام، نظراً لأن (c+di)(c−di) = c²+d² يكون حقيقياً دائماً. تحافظ هذه العمليات الأربع على هيكل a + bi.

مقياس العدد المركب z = a + bi هو مسافته من نقطة الأصل في المستوى المركب، والمعطى بواسطة |z| = √(a²+b²). على سبيل المثال، |3+4i| = √(9+16) = √25 = 5.

السعة هي الزاوية θ من المحور الحقيقي الموجب، وتُحسب كـ θ = atan2(b, a)، وعادة ما توصف بين −π و π.

كما تصف مكتبة NIST الرقمية للدوال الرياضية، فإن المقياس والسعة معاً يمنحان الإحداثيات القطبية لـ z. المقياس غير سالَب دائماً، وضرب العدد المركب في مرافقه يعطي مربع المقياس: z·z* = |z|²، وهو دائماً عدد حقيقي.

للتحويل من الشكل الديكارتي a + bi إلى الشكل القطبي r∠θ، احسب المقياس r = √(a²+b²) والسعة θ = atan2(b, a).

للعودة من القطبي إلى الديكارتي، استخدم a = r·cos θ و b = r·sin θ.

على سبيل المثال، 1 + i لديه r = √2 ≈ 1.414 و θ = 45°، لذا فإن شكله القطبي هو √2 ∠45°.

توضح دائرة المعارف البريطانية أن التمثيل القطبي يجعل الضرب والقسمة بديهيين، حيث تقوم بضرب أو قسمة المقاييس وجمع أو طرح السعات. الشكل الديكارتي هو الأفضل للجمع والطرح، بينما يبسط الشكل القطبي النواتج ونواتج القسمة والأسس والجذور.

تنص نظرية ديموافر على أنه بالنسبة لـ z = r(cos θ + i sin θ)، فإن القوة النونية هي z^n = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). ارفع المقياس إلى القوة n واضرب السعة في n.

على سبيل المثال، (1+i) لديه r = √2 و θ = 45°، لذا فإن (1+i)² = (√2)²(cos 90° + i sin 90°) = 2(0 + i) = 2i، وهو ما يتطابق مع الفك المباشر.

يعرض Wolfram MathWorld صيغة ديموافر كنتيجة مباشرة لصيغة أويلر e^(iθ) = cos θ + i sin θ. تتجنب هذه الطريقة الضرب المتكرر الممل اللازم لفك الأسس العالية في الشكل الديكارتي.

كل عدد مركب لا يساوي الصفر له بالضبط n من الجذور النونية المميزة. بالنسبة لـ z = r∠θ، الجذور هي z_k = ⁿ√r ∠(θ/n + 360°k/n) من أجل k = 0, 1, …, n−1. وهي تقع على مسافات متساوية على دائرة نصف قطرها ⁿ√r في المستوى المركب.

على سبيل المثال، الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد 8 هي 2∠0° و 2∠120° و 2∠240°.

الحالة الخاصة لـ الجذور النونية للواحد - حلول zⁿ = 1 - مفهرسة في OEIS وتشكل رؤوس مضلع منتظم ذي n ضلع على دائرة الوحدة.

كما تلاحظ NIST DLMF، فإن هذه المسافات المتساوية تنبع مباشرة من إضافة 2π/n إلى الزاوية لكل جذر متتالي.

المرافق المركب لـ z = a + bi هو z* = a − bi، والذي يتم الحصول عليه عن طريق عكس إشارة الجزء التخيلي. هندسياً، يعكس العدد عبر المحور الحقيقي.

المرافق له خاصيتان رئيسيتان:

• z + z* = 2a دائماً عدد حقيقي
• z·z* = a² + b² = |z|² دائماً عدد حقيقي غير سالَب

تُبرز خان أكاديمي أن المرافقات هي الأداة القياسية لقسمة الأعداد المركبة، لأن ضرب المقام في مرافقه يزيل الجزء التخيلي.

تظهر المرافقات أيضاً في الفيزياء ومعالجة الإشارات، حيث تعتمد كميات مثل الطاقة والاحتمالية على ضرب قيمة مركبة في مرافقها للحصول على مقدار حقيقي.

الأعداد المركبة لا غنى عنها في الهندسة والعلوم:

• في هندسة الكهرباء، يتم تحليل دوائر التيار المتردد باستخدام الممتدات (phasors)، حيث تكون الممانعة كمية مركبة تجمع بين المقاومة والمفاعلة.
• في معالجة الإشارات، تمثل تحويلات فورييه الإشارات كمجاميع من الأسس المركبة e^(iωt)، فتقسّمها إلى مكونات ترددية.
• تستخدم أنظمة التحكم المستوى المركب لتقييم الاستقرار من خلال تحديد الأقطاب والأصفار.
• ميكانيكا الكم مبنية أساساً على دلالات موجية ذات قيم مركبة.

تلاحظ دائرة المعارف البريطانية أن متطابقة أويلر e^(iπ) + 1 = 0 تربط بأناقة بين الثوابت e و i و π و 1 و 0. تعتمد ديناميكا السوائل وهندسة الفركتلات، مثل مجموعة ماندلبروت، على الحسابات المركبة أيضاً.

• الخطأ الأكثر تكراراً هو نسيا أن i² = −1، مما يغير إشارة حد الضرب أثناء عملية الضرب؛ كتابة i² = 1 تعطي نتيجة خاطئة.
• خطأ آخر هو تطبيق √(ab) = √a·√b على الأعداد السالبة - هذه القاعدة تفشل، نظراً لأن √−1·√−1 = −1 وليست √1 = 1.
• عند إيجاد السعة، يستخدم العديد من الطلاب دالة الظل العكسية arctan(b/a) العادية فيقعون في الربع الخاطئ؛ استخدم atan2(b, a) بدلاً من ذلك.
• يتجاهل الناس أيضاً الجذور عند حل zⁿ = w، ناسين أن هناك بالضبط n جذراً.
• وأخيراً، فإن خلط الدرجات والتقدير الدائري في الحسابات القطبية ينتج عنه زوايا غير صحيحة.

تأكد دائماً من الوحدة التي تتوقعها صيغتك قبل حساب الجيوب وجيوب التمام.