การคูณการคูณและการแบ่งส่วนเป็นทักษะทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานที่ทำหน้าที่เป็นรากฐานสำหรับคณิตศาสตร์ขั้นสูงตั้งแต่พีชคณิตถึงแคลคูลัสไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่ดิ้นรนกับแนวคิดเหล่านี้หรือผู้ปกครองที่ช่วยลูกของคุณในการบ้านคู่มือที่ครอบคลุมนี้จะเปลี่ยนความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับการดำเนินการเศษส่วนผ่านคำอธิบายที่ชัดเจนตัวอย่างที่เป็นประโยชน์และเทคนิคที่พิสูจน์แล้ว
หลังจากสอนนักเรียนหลายพันคนในช่วง 15 ปีที่ผ่านมาฉันได้ระบุวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับการเรียนรู้การดำเนินการเศษส่วนคู่มือนี้กล่าวถึงความท้าทายที่พบบ่อยที่สุดที่นักเรียนเผชิญและนำเสนอโซลูชั่นทีละขั้นตอนที่สร้างความมั่นใจและความคล่องแคล่วทางคณิตศาสตร์
บทที่ 1: การทำความเข้าใจเศษส่วน - รากฐาน
เศษส่วนคืออะไร?
เศษส่วนแสดงถึงส่วนหนึ่งของปริมาณทั้งหมดหรือส่วนของปริมาณทุกส่วนประกอบด้วยสององค์ประกอบที่สำคัญ:
ตัวเศษ: หมายเลขด้านบนที่ระบุจำนวนชิ้นส่วนที่เรามี
ตัวส่วน: หมายเลขล่างที่แสดงจำนวนส่วนที่เท่ากันทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็น
ตัวอย่างเช่นในเศษส่วน 3/4 เรามี 3 ส่วนจาก 4 ส่วนเท่ากันทั้งหมด
ประเภทของเศษส่วนที่คุณจะพบ
- เศษส่วนที่เหมาะสม: ตัวเศษมีขนาดเล็กกว่าตัวส่วน (2/3, 5/8)
- เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม: ตัวเศษเท่ากับหรือมากกว่าตัวส่วน (7/4, 9/5)
- ตัวเลขผสม: การรวมกันของจำนวนและเศษส่วนทั้งหมด (2 1/3, 5 2/7)
การทำความเข้าใจประเภทเหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากอาจจำเป็นต้องมีวิธีการที่แตกต่างกันสำหรับการคูณและการหาร
บทที่ 2: การคูณเศษส่วน - วิธีที่สมบูรณ์
กฎพื้นฐานสำหรับการคูณ
กฎพื้นฐานสำหรับการคูณเศษส่วนนั้นง่ายอย่างน่าประหลาดใจ:
คูณตัวสลัดเข้าด้วยกันจากนั้นคูณตัวส่วนเข้าด้วยกัน
สิ่งนี้สามารถแสดงเป็น: (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d)
กระบวนการทีละขั้นตอน
- ขั้นตอนที่ 1: ตั้งค่าปัญหา - เขียนเศษส่วนเคียงข้างกันด้วยเครื่องหมายการคูณระหว่างพวกเขา
- ขั้นตอนที่ 2: คูณคูณ - คูณตัวเลขยอดนิยมเข้าด้วยกันเพื่อรับตัวเศษใหม่
- ขั้นตอนที่ 3: ตัวส่วนคูณ - คูณตัวเลขด้านล่างเข้าด้วยกันเพื่อรับตัวส่วนใหม่
- ขั้นตอนที่ 4: ลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ - ลดเศษส่วนเป็นคำที่ต่ำที่สุดโดยการค้นหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD)
ตัวอย่างที่เป็นประโยชน์
ตัวอย่างที่ 1: การคูณพื้นฐาน
2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15
ตั้งแต่ 8 และ 15 แบ่งปันปัจจัยทั่วไปนอกเหนือจาก 1 ส่วนนี้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด
ตัวอย่างที่ 2: การคูณด้วยการทำให้เข้าใจง่าย
6/8 × 4/9 = (6 × 4)/(8 × 9) = 24/72
เพื่อให้ง่ายขึ้นเราพบ GCD ที่ 24 และ 72 ซึ่งคือ 24:
24/72 = 1/3
ตัวอย่างที่ 3: การคูณตัวเลขผสม
2 1/4 × 1 2/3
ก่อนอื่นให้แปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม:
2 1/4 = 9/4
1 2/3 = 5/3
จากนั้นคูณ: 9/4 × 5/3 = 45/12 = 15/4 = 3 3/4
เทคนิคการคูณขั้นสูง
วิธีการข้ามเขต
เทคนิคนี้ช่วยให้คุณสามารถทำให้ง่ายขึ้นก่อนที่จะคูณการคำนวณง่ายขึ้น:
6/8 × 4/9
ยกเลิกปัจจัยทั่วไปในแนวทแยง:
6 และ 9 มี GCD 3: 6 → 2, 9 → 3
8 และ 4 มี GCD 4: 8 → 2, 4 → 1
ผลลัพธ์: 2/2 × 1/3 = 2/6 = 1/3
วิธีนี้ป้องกันจำนวนมากและลดข้อผิดพลาดการคำนวณ
บทที่ 3: การแบ่งเศษส่วน - การเรียนรู้วิธีพลิกและคูณ
กฎการแบ่ง
การแบ่งเศษส่วนเป็นไปตามกฎ“ พลิกและทวีคูณ”:
หากต้องการหารด้วยเศษส่วนคูณด้วยซึ่งกันและกัน
ซึ่งกันและกันของเศษส่วนได้มาจากการสลับตัวเศษและตัวส่วน
ทำความเข้าใจว่าทำไมจึงใช้งานได้
Division ถามว่า“ ตัวหารมีกี่ครั้งที่เข้าเงินปันผล?”เมื่อเราหารด้วยเศษส่วนเรากำลังถามว่าชิ้นส่วนเศษส่วนกี่ชิ้นพอดีกับปริมาณอื่นการทวีคูณด้วยการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันให้คำตอบนี้แก่เราเพราะ:
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d)/(b × c)
กระบวนการหารแบบทีละขั้นตอน
- ขั้นตอนที่ 1: ระบุเงินปันผลและตัวหาร - ใน÷ b, 'a' คือเงินปันผลและ 'B' คือตัวหาร
- ขั้นตอนที่ 2: ค้นหาซึ่งกันและกันของตัวหาร - พลิกส่วนที่สอง (ตัวหาร)
- ขั้นตอนที่ 3: เปลี่ยนการแบ่งเป็นการคูณ - แทนที่เครื่องหมายการแบ่งด้วยการคูณ
- ขั้นตอนที่ 4: คูณเศษส่วน - ทำตามกฎการคูณจากบทที่ 2
- ขั้นตอนที่ 5: ลดความซับซ้อนของผลลัพธ์ - ลดคำศัพท์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้
ตัวอย่างที่ครอบคลุม
ตัวอย่างที่ 1: การแบ่งพื้นฐาน
3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8
ตัวอย่างที่ 2: การหารด้วยตัวเลขทั้งหมด
5 ÷ 2/3 = 5/1 × 3/2 = 15/2 = 7 1/2
ตัวอย่างที่ 3: การแบ่งที่ซับซ้อน
2 1/3 ÷ 1 1/4
แปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม:
7/3 ÷ 5/4 = 7/3 × 4/5 = 28/15 = 1 13/15
บทที่ 4: ความผิดพลาดทั่วไปและวิธีหลีกเลี่ยง
5 ข้อผิดพลาดสำคัญที่สำคัญ
1. ลืมที่จะพลิกส่วนที่สองในการแบ่ง
ไม่ถูกต้อง: 2/3 ÷ 4/5 = 8/15
ถูกต้อง: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
2. ข้ามการผสมผสานแทนการคูณตรง
ไม่ถูกต้อง: 2/3 × 4/5 = (2 × 5)/(3 × 4) = 10/12
ถูกต้อง: 2/3 × 4/5 = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15
3. ไม่ทำให้คำตอบสุดท้ายง่ายขึ้น
ตรวจสอบเสมอว่าคำตอบของคุณสามารถลดลงเป็นคำที่ต่ำที่สุดได้หรือไม่
4. ความสับสนกับตัวเลขผสม
แปลงตัวเลขผสมเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเสมอก่อนที่จะดำเนินการ
5. ลืมตรวจสอบงานของคุณ
ใช้การประมาณการเพื่อยืนยันคำตอบของคุณสมเหตุสมผล
บทที่ 5: แอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริง
ทำอาหารและอบ
การปรับสเกลสูตร: หากสูตรเรียกใช้แป้ง 2/3 ถ้วยและคุณต้องการทำสูตร 1 1/2 เท่า:
2/3 × 1 1/2 = 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1 ถ้วย
ส่วนแบ่ง: หาร 3/4 ของพิซซ่าในหมู่ 3 คน:
3/4 ÷ 3 = 3/4 × 1/3 = 3/12 = 1/4 ต่อคน
การก่อสร้างและงานฝีมือ
การคำนวณวัสดุ: หากคุณต้องการระยะห่าง 5/8 นิ้วและต้องการพอดีกับ 12 ช่องว่าง:
5/8 × 12 = 60/8 = 7 1/2 นิ้วทั้งหมด
การตัดผ้า: แบ่งผ้า 2 1/4 หลาออกเป็น 3 ชิ้นเท่ากัน:
2 1/4 ÷ 3 = 9/4 × 1/3 = 9/12 = 3/4 หลาต่อชิ้น
เวลาและระยะทาง
การคำนวณความเร็ว: หากคุณเดินทาง 3/4 ไมล์ใน 1/2 ชั่วโมง:
ความเร็ว = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 6/4 = 1 1/2 ไมล์ต่อชั่วโมง
บทที่ 6: กลยุทธ์การแก้ปัญหาขั้นสูง
ปัญหาหลายขั้นตอน
กลยุทธ์ 1: ทำลายปัญหาที่ซับซ้อน
เมื่อเผชิญกับปัญหาเกี่ยวกับการดำเนินการหลายครั้งให้แก้ปัญหาทีละขั้นตอน:
ปัญหา: 2/3 จาก 3/4 จาก 12 คืออะไร?
ขั้นตอนที่ 1: 3/4 × 12 = 9
ขั้นตอนที่ 2: 2/3 × 9 = 6
กลยุทธ์ที่ 2: ใช้ลำดับการดำเนินงาน
โปรดจำไว้ว่า Pemdas เมื่อเศษส่วนเป็นส่วนหนึ่งของการแสดงออกที่ใหญ่กว่า
กลยุทธ์ที่ 3: แปลงเป็นทศนิยมเพื่อตรวจสอบ
ใช้ทศนิยมเทียบเท่าเพื่อตรวจสอบคำตอบเศษส่วนของคุณ
เทคนิคปัญหาคำ
วลีสำคัญสำหรับการคูณ:
- “ ของ” มักหมายถึงทวีคูณ
- “ เวลา” หมายถึงการคูณ
- “ ผลิตภัณฑ์” หมายถึงทวีคูณ
วลีสำคัญสำหรับการแบ่ง:
- “ หารด้วย” หมายถึงการแบ่ง
- “ ความฉลาด” หมายถึงการแบ่ง
- “ มีกี่กลุ่ม” ที่แนะนำการแบ่งแยก
บทที่ 7: การสร้างความคล่องแคล่วในการสร้าง
กลยุทธ์การฝึกฝน
กิจวัตรการฝึกฝนประจำวัน:
- เริ่มต้นด้วย 5 ปัญหาง่ายๆ
- ค่อยๆเพิ่มความซับซ้อน
- ผสมการคูณและการแบ่ง
- รวมปัญหาคำ
- ใช้เวลาในการสร้างความคล่องแคล่ว
เทคนิคหน่วยความจำ:
- สร้างครอบครัวที่เป็นข้อเท็จจริง
- ใช้โมเดลเศษส่วนภาพ
- ฝึกด้วยแถบเศษส่วน
- ใช้เครื่องมือเศษส่วนออนไลน์
การประเมินและการติดตามความคืบหน้า
คำถามการประเมินตนเอง:
- ฉันสามารถคูณเศษส่วนโดยไม่ต้องดูขั้นตอนได้หรือไม่?
- ฉันจะพลิกโดยอัตโนมัติหรือไม่?
- ฉันสามารถแก้ปัญหาคำได้อย่างมั่นใจได้หรือไม่?
- ฉันทำผิดพลาดการคำนวณน้อยลงหรือไม่?
ตัวชี้วัดความคืบหน้า:
- เวลาแก้ปัญหาลดลง
- ความต้องการอ้างอิงน้อยลง
- ความมั่นใจในปัญหาที่ซับซ้อน
- ความสามารถในการอธิบายให้ผู้อื่น
บทที่ 8: เทคโนโลยีและเครื่องมือ
ทรัพยากรดิจิทัล
- เครื่องคิดเลขออนไลน์: ใช้สำหรับการตรวจสอบงานไม่เปลี่ยนความเข้าใจ
- แอพการศึกษา: เกมและการปฏิบัติแบบอินเทอร์แอคทีฟ
- วิดีโอสอน: อาหารเสริมการเรียนรู้ด้วยภาพ
- เว็บไซต์ฝึกฝน: การสร้างทักษะที่มีโครงสร้าง
เครื่องมือทางกายภาพ
- แถบเศษส่วน: การแสดงภาพของความสัมพันธ์เศษส่วน
- แผนภูมิวงกลม: แบบจำลองวงกลมสำหรับการทำความเข้าใจเศษส่วน
- บรรทัดหมายเลข: การจัดวางเศษส่วนเชิงเส้น
- การจัดการ: การสำรวจเศษส่วนบนมือ
บทที่ 9: การแก้ไขปัญหาความท้าทายทั่วไป
เมื่อนักเรียนต่อสู้
- ผู้เรียนรู้ด้วยภาพ: ใช้แวดวงเศษส่วนบาร์และรูปภาพ
- ผู้เรียนฟัง: อธิบาย“ ทำไม” เบื้องหลังแต่ละขั้นตอน
- ผู้เรียนการเคลื่อนไหวทางโลก: จัดทำกิจกรรมและการจัดการภาคปฏิบัติ
การจัดการกับความวิตกกังวลทางคณิตศาสตร์
- สร้างความมั่นใจ: เริ่มต้นด้วยปัญหาที่ง่ายขึ้นและค่อยๆเพิ่มความยากลำบาก
- เฉลิมฉลองความคืบหน้า: รับชัยชนะเล็กน้อย
- สร้างความสัมพันธ์เชิงบวก: ใช้ตัวอย่างที่น่าสนใจในโลกแห่งความเป็นจริง
- ความอดทนในการฝึกฝน: ให้เวลาสำหรับแนวคิดการเชี่ยวชาญ
การสนับสนุนผู้ปกครองและครู
- วิธีการที่สอดคล้องกัน: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผู้ใหญ่ทุกคนใช้เทคนิคเดียวกัน
- การฝึกฝนเป็นประจำ: ช่วงเวลาสั้น ๆ และบ่อยครั้งทำงานได้ดีกว่าการใช้เวลานานไม่บ่อยนัก
- การเสริมแรงเชิงบวก: มุ่งเน้นไปที่ความพยายามและการปรับปรุง
- ความช่วยเหลือจากมืออาชีพ: รับรู้เมื่อต้องการการสนับสนุนเพิ่มเติม
บทที่ 10: นอกเหนือจากการดำเนินการขั้นพื้นฐาน
การเตรียมตัวสำหรับคณิตศาสตร์ขั้นสูง
- ความพร้อมพีชคณิต: การดำเนินการเศษส่วนเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแก้สมการ
- แอปพลิเคชันเรขาคณิต: พื้นที่ขอบเขตและการคำนวณปริมาณ
- สถิติและความน่าจะเป็น: อัตราส่วนและปัญหาสัดส่วน
- มูลนิธิแคลคูลัส: ข้อ จำกัด และอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับการจัดการเศษส่วน
การเชื่อมต่ออาชีพ
- STEM Fields: วิศวกรรมฟิสิกส์และเคมีพึ่งพาการคำนวณเศษส่วนเป็นอย่างมาก
- ธุรกิจและการเงิน: อัตรากำไรอัตราดอกเบี้ยและอัตราส่วนทางการเงิน
- การดูแลสุขภาพ: ยาและการคำนวณทางการแพทย์
- การค้าและงานฝีมือ: การวัดและการคำนวณวัสดุ
บทสรุป
การคูณการคูณและการแบ่งส่วนไม่เพียง แต่เกี่ยวกับการจดจำกฎ-มันเป็นเรื่องเกี่ยวกับการพัฒนาเหตุผลทางคณิตศาสตร์และทักษะการแก้ปัญหาที่จะให้บริการคุณตลอดชีวิตการศึกษาและอาชีพของคุณเทคนิคที่นำเสนอในคู่มือนี้ได้รับการพัฒนาผ่านประสบการณ์ในห้องเรียนมานานหลายปีและได้รับการปรับปรุงผ่านข้อเสนอแนะของนักเรียนเป็นรากฐานที่มั่นคงสำหรับความสำเร็จทางคณิตศาสตร์
โปรดจำไว้ว่าความสามารถมาจากการฝึกฝนและความอดทนเริ่มต้นด้วยพื้นฐานค่อยๆสร้างความซับซ้อนและอย่าลังเลที่จะกลับไปสู่แนวคิดพื้นฐานเมื่อจำเป็นด้วยความพยายามอย่างต่อเนื่องและวิธีการที่ถูกต้องทุกคนสามารถเชี่ยวชาญทักษะทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นเหล่านี้
การเดินทางจากความสับสนไปสู่ความมั่นใจในการดำเนินงานเศษส่วนสามารถทำได้สำหรับผู้เรียนทุกคนใช้คู่มือนี้เป็นแผนงานของคุณฝึกฝนเป็นประจำและเฉลิมฉลองความคืบหน้าของคุณไปพร้อมกันคณิตศาสตร์ไม่ได้เกี่ยวกับการมีความสามารถตามธรรมชาติ - มันเกี่ยวกับการคงอยู่การฝึกฝนและการมีเครื่องมือและกลยุทธ์ที่เหมาะสมในการกำจัดของคุณ
ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่เตรียมพร้อมสำหรับคณิตศาสตร์ขั้นสูงมืออาชีพที่ต้องการรีเฟรชทักษะของคุณหรือใครบางคนที่ช่วยให้ผู้อื่นเรียนรู้ทักษะการใช้งานเศษส่วนเหล่านี้จะช่วยคุณได้ดีการลงทุนในการเรียนรู้พื้นฐานเหล่านี้จ่ายเงินปันผลในความเชื่อมั่นทางคณิตศาสตร์และความสามารถในอีกหลายปีข้างหน้า
